什么是数字图像？

数字图像的严格定义¶

从数学角度看，数字图像可以定义为一个函数 $f$ ，它将一个离散的空间域映射到一个离散或连续的强度范围。

对于一个 $d$ 维图像，其空间域是 $\mathbb{Z}^d$ 中的一个有限点网格。对于典型的二维图像，这个域是一组整数坐标对 $(m, n)$ ，其中 $0 \le m < M$ 且 $0 \le n < N$ 。 $M$ 和 $N$ 的值定义了图像的空间分辨率。

函数的值域定义了图像强度的性质。该函数将每个空间坐标映射到一个包含 $B$ 个强度值的向量，该向量属于 $\mathbb{R}^B$ 。这可以写作：

\begin{aligned} f: \mathbb{Z}^d &\to \mathbb{R}^B \\ \mathbf{p} &\mapsto f(\mathbf{p}) = [i_1, i_2, \dots, i_B]^T \end{aligned}

其中 $\mathbf{p}$ 是一个空间坐标向量（例如，对于 $d=2$ 的情况是 $(m,n)$ ）。

向量 $f(\mathbf{p})$ 的分量是图像的强度或通道。一些常见的例子包括：

在图像处理中，标准坐标系的原点位于图像的左上角，如 Figure 3 所示。水平轴 $n$ 指向右侧（列），垂直轴 $m$ 指向下方（行）。记住这个约定很重要，因为它不同于数学中使用的标准笛卡尔坐标系，后者的垂直轴指向上方。

数字图像可以根据几个关键属性进行分类。

一维: 一维“图像”等同于一个信号。
二维: 最常见的图像类型，表示场景的平面投影（例如，照片）。二维图像的基本元素是像素（pixel，即 picture element）。
三维: 体数据图像，表示三个空间维度中的数据（例如，CT扫描）。其基本元素是体素（voxel，即 volume element）。
更高维度: 维度也可以表示非空间量。例如：
- 视频是一个 2D+ $t$ 图像（两个空间维度 + 时间）。
- 高光谱图像是一个 2D+ $\lambda$ 图像（两个空间维度 + 波长）。

单通道 (B=1): 包括二值（黑/白）图像和灰度图像。
多通道 (B>1):
- RGB (B=3): 标准彩色图像。
- 多光谱 (B 通常为 3 到 10): 捕捉多个离散的光谱波段（例如，Landsat卫星图像，包含可见光和红外波段）。
- 高光谱 (B 可达数百): 捕捉连续的光谱范围，为每个像素提供详细的光谱特征。

可能的强度值集合由图像的位深度决定。如前所述，位深度为 $k$ 的图像可以表示 $2^k$ 个不同的强度级别。